Teorema de Tales y sombras
Desde la angigüedad, se han empleado conceptos matemáticos para el cálculo de alturas de elementos innaccesibles, como puede ser un edificio, un árbol o incluso una pirámide. En los cursos de 4º de ESO y 1º de Bachillerato hemos puesto en práctica los conceptos geométricos y trigonométricos estudiados en clase para medir alturas.
El método empleado por los alumnos de 4º de ESO radica en el Teorema de Tales. Una consecuencia del Teorema de Tales es que el cociente de la altura de cualquier objeto con la longitud de su sombra es constante. Tal y como narra la popular historia, Tales de Mileto empleó esta relación para medir la altura de la Gran Pirámide de Keops, tras el desafío planteado por un sacerdote egipcio (lee más sobre la historia aquí).
Análogamente, una soleada mañana los alumnos de 4º de ESO determinaron la altura de diversos objetos del centro mediante tres medidas: la medida de la longitud de la sombra del objeto cuya altura queremos determinar, la altura de un alumno/a y longitud de la sombra arrojada por ese mismo alumno/a.
Por ejemplo, las alumnas de la imagen obtuvieron las siguientes medidas:
- Sombra del árbol: 6,95 m
- Altura de la alumna: 1,58 m
- Sombra de la alumna: 3,33 m
Empleando el Teorema de Tales, la altura de uno de los árboles del patio resulta ser 3,29 m. Recordemos que es una medida aproximada, que está sujeta a errores cometidos al realizar las medidas.
Uso del clinómetro
Los alumnos de 1º de Bachillerato emplearon conceptos trigonométricos. En este caso, empleamos conceptos trigonométricos para la determinación de alturas. Concretamente, empleamos la función tangente para conocer la altura de un edificio. La función tangente permite obtener la altura de un objeto con la distancia entre el observador y este objeto, conociendo el ángulo de elevación de este objeto, tal y como se muestra en la siguiente figura.
Sin embargo, la obtención de este ángulo precisa de un instrumento para medir ángulos. Por ello, en clase construimos este instrumento, llamado clinómetro, con objetos rudimentarios: un transportador de ángulos, un hilo de coser, un folio hacer un fino tubo por el que observar, un pequeño objeto que haga de peso y cinta adhesiva. La siguiente imagen muestra uno de los clinómetros construidos por los alumnos.
Al igual que los alumnos de 4º de ESO, salimos al patio con el objetivo de usar un metro y un clinómetro para determinar la altura de los objetos:
Mediante el ángulo obtenido con el clinómetro, podemos obtener la altura sabiendo también la altura de la persona y la distancia entre ella, a partir del triángulo rectángulo mostrado en la imagen atnerior. Entre otras cosas, una de las alturas estimadas ha sido la altura de una de las canastas de baloncesto.
- Ángulo medido: 30º
- Altura de la persona: 1,64 m
- Distancia a la canasta. 3 m
El siguiente esquema (realizado por las alumnas de 1º de Bachillerato) muestra la situación planteada:
Y la realización de cálculos muestra que la canasta mide alrededor de 2,3 m. Para más información, puede quizás consultar a los alumnosd de 1º de Bachillerato A.
Como se ha observado, obtenemos así distintas herramientas muy cercanas para estimar la altura innaccesible de elementos como árboles, canastas, farolas o incluso edificios, aplicando conceptos geométricos y trigonométricos muy sencillos.